Ünite 6: Merkezîlik Ölçüleri

Giriş

Bunu bilmenin yolu “merkezîlik” ölçülerinden geçer. Çok farklı merkezîlik ölçüleri olmakla birlikte şu üç tanesi en sık kullanılan merkezîlik ölçüleridir:

  • Derece (degree)
  • Yakınlık (closeness)
  • Arasındalık (betweenness)

Merkezîlik Ölçüleri

İşe basit bir örnek ile başlayalım. Merkezi bir kent nasıl bir kenttir? Eğer bir kentten başka kentlere ulaşan çok sayıda yol geçiyorsa o kent merkezi bir kenttir. Daha küçük ölçekte, bir kentin merkezi de yine hemen hemen kentin içindeki bütün yolların geçtiği bir merkezi noktadır. Merkezilik, sosyal ağ analizinin en çok incelenen konuları arasındadır ve derece merkezîliği, yakınlık, arasındalık, özvektör merkezîliği ve daha başkaları gibi çok sayıda merkezîlik ölçüsü geliştirilmiştir. Merkezîlik, ağlarda düğümlerin ve bağlantıların ne kadar önemli oldukları sorusunu yanıtlamaya çalışır. Bir düğüm veya bir bağlantı ise ne kadar akışı (bilgi, otomobil, ihracat-ithalat) yüklenebiliyorsa ne kadar çok sayıda farklı grup arasında köprü görevi görebiliyorsa ne ölçüde önemli düşüncelerin, bilginin, kararların kaynağı olabiliyorsa o ölçüde önemlidir. Merkezîliğin ölçülmesi ve merkezi düğümlerin belirlenmesi ile ağda enformasyonun daha hızlı yayılması sağlanabilir, salgın hastalıklar ve ağdaki bozulmalar önlenebilir. Merkezilik, ağdaki bir birim için ölçülebileceği gibi ağın geneli için de ölçülebilir. Ağlarda merkezîlik ile ilgilenirken, yönlü ve yönsüz ağ ayrımı yapmamız gerekir. Merkezîlik genelde yönsüz ağlar içindir. Yönlü ağlar için ise “prestij” ölçülür. Bir düğümden giden bağlantı sayısı ne kadar fazla ise o düğüm prestij anlamında o kadar etkilidir, gelen bağlantı sayısı ne kadar fazla ise o düğüm prestij anlamında o kadar desteklenmektedir. Bir aktör (düğüm) bir ağda sağa sola ne kadar çok komut veriyor, bilgi gönderiyorsa o kadar etkilidir; ona ne kadar çok oy, para, mal, bilgi veriliyorsa o kadar çok destekleniyordur (Mrvar, 2015).

Merkezîlik ölçüm türleri aşağıdaki gibidir:

  • Merkezîlik ağdaki bir birim için ölçülebileceği gibi ağın geneli için de ölçülebilir.
  • Merkezîlik mutlak ve göreli olarak ölçülebilir.

Bir birimin derecesi ne kadar yüksekse diğer birimler tarafından ne kadar kolay erişilebilirse ne kadar çok sayıda diğer birimler arasındaki en kısa patikalarda arada bulunuyorsa o birim o kadar merkezidir.

Yönlü ağlarda bir düğüm (aktör) için üç tür derece söz konusu olur: Gelen derece (indegree, incoming degree), giden derece (outdegree, outgoing degree) ve bu ikisinin toplamı olarak toplam derece (total degree). Gelen derece; destek ölçüsü, giden derece ise etki ölçüsü olarak da adlandırılır. Yönsüz ağlarda ise bir düğüm için sadece derece kavramı söz konusudur. Şekil 6.2’de; x düğümünün gelen derece, giden derece, arasındalık ve yakınlık gibi merkezîlik ölçüleri açısından y düğümüne göre daha merkezi olduğunu söyleyebiliriz.

Derece Merkezîliği

Derece merkezîliği, bir düğümün tek bir bağlantı ile bağlandığı birinci dereceden komşularının sayısı ile ilgilidir. Derece merkeziliği bir düğümün bağlantı sayısı ile ölçülür ve bu ölçü derece merkeziliğini mutlak bir şekilde ölçer. Mutlak derece merkeziliği karşılaştırmalar için uygun olmadığı için bu ölçü normalize edilerek mutlak derece merkeziliği N-1 değerine bölünerek göreli derece merkeziliğine ulaşılır. Göreli derece merkeziliği 01 arasında değişir. Derece merkeziliği 1’e yaklaştıkça o düğümün derece merkeziliği artar. Yönlendirilmiş ağlarda gelen, giden ve toplam derece söz konusu olabiliyordu. Konuyu basitleştirmek için şimdi yıldız, daire ve çizgi tipindeki yönsüz ağlarda, ağların çizgelerini ve komşuluk matrislerini vererek derece hesaplayalım.

Sayfa 95’deki Şekil 6.3’de verilen yıldız şeklindeki çizgenin bağlantı sayılarını hemen şeklin ardından verilen komşuluk matrisinde görüyoruz. Yönsüz ve yıldız şeklindeki bu çizgede 1 nolu düğümün derecesi 6, diğer düğümlerin dereceleri ise 1’dir.

Sayfa 95’deki Şekil 6.4’de görülen döngü şeklindeki çizgeyi ve izleyen komşuluk matrisini incelediğimizde bütün düğümlerin derecelerinin 2 olduğu görülür.

Sayfa 96’daki Şekil 6.5’te, çizgi şeklindeki çizge ve onu izleyen komşuluk matrisi bize, 6. ve 7. düğümlerin dışında bütün düğümlerin derecelerinin 2 olduğunu; 6. ve 7. düğümlerin derecelerinin ise 1 olduğunu göstermektedir.

Sayfa 97’deki Şekil 6.6’da görülen 6 düğümlü yönsüz çizge ve onu izleyen komşuluk matrisini incelersek: 1. düğümün 2, 2. düğümün 3, 3. düğümün 2, 4. düğümün 3, 5. düğümün 3 ve 6. düğümün 1 dereceye sahip olduğunu görürüz.

Bu kez de yönlü bir ağda (s:97, Şekil 6.7) düğümlerin gelen ve giden dereceleri ile toplam derecelerini hesaplayalım. Sayfa 97’deki Şekil 6.7’deki yönlü çizgenin gelen, giden ve toplam dereceleri komşuluk matrislerinin son sütunlarında görülmektedir.

Bizim burada hesapladığımız ölçüler mutlak derece ölçüleridir. Eğer bu hesaplanan ölçüler 0-1 aralığında değişecek şekilde normalize edilirlerse o zaman da göreli merkezilik ölçülerini elde etmiş oluruz. Döngüleri olmayan, aynı düğümden çıkıp aynı düğüme dönen bağlantıların olmadığı bir ağda x düğümünün göreli derecesini hesaplamak için şu formül kullanılır:

C D (x) = C D (x) / (N-1)

Standardize edilmiş merkezîliği bulmak için her düğümün merkezîliğini; N ağdaki düğüm sayısı olmak üzere N-1’e bölmek gerekir. Ağda 7 düğüm olduğuna göre, her ölçüyü 7-1=6’ya bölmek gerekir.

Arasındalık Merkezîliği

Arasındalık merkeziliği bir ağdaki en kısa patikalara dayanır. Her i düğümü için bu düğümden kaç tane en kısa patika geçtiğini sayarak arasındalık hesaplayabiliriz. Arasındalık bir ağdaki akışlar açısından önemlidir. Eğer yüksek derecede arasındalığa sahip bir düğüm ortadan kaldırılırsa en kısa patikaların ortalaması yükseleceği için bu ağdaki akışların etkin olamayacağı anlamına gelir. Arasındalık farklı şekillerde ölçülebilir. En basit şekilde arasındalık, bir düğümden geçen en kısa patikaların sayısıdır. Bir anlamda arasındalık, bir düğümün ağdaki bilginin yayılmasına olan etkisini ölçer. Ancak hemen ekleyelim ki, bu tanımda bilginin sadece en kısa patikalarda yayıldığı varsayılır (Newman, 2005). Matematiksel olarak n i s,t , i düğümünden geçen s ve t arasındaki en kısa patika sayısı, n s,t ise s ile t düğümleri arasındaki toplam patika sayısı olsun. Bu durumda i düğümünün mutlak arasındalık ölçüsü aşağıdaki şekildedir:

Yönsüz ağlar için mutlak arasındalık ölçüsünü (N-1)(N2)/2’ye bölerek göreli arasındalık ölçüsünü hesaplayabiliriz. Yönlü ağlar için ise mutlak arasındalık ölçüsünü (N-1) (N-2)’ye bölerek göreli arasındalık ölçüsü elde edilir. Bunun nedeni, bir ağda N düğüm olduğunda, yönsüz ağlarda sıra önemli olmadığı için x dışındaki farklı çift sayısı C 2 N-1 olurken, yönlü ağlarda sıra önemli olduğu için x dışındaki farklı çift sayısının (N-1)(N-2) olmasından kaynaklanmaktadır.

Sayfa 101’deki Şekil 6.10’da, 0 düğümünden 4 düğümüne iki tane en kısa patika bulunmaktadır ve bu patikalar 2 düğümünden geçmektedir. Bu nedenle, w 0,4 2 = 2/2 =1 , w 0,4 1 = w 0,4 3 =1/2 olarak hesaplanır. Bu çizge yönsüz olduğu için ve düğüm sayısı N=5 olduğu için göreli arasındalık ölçüsünü hesaplamak istediğimizde hesapladığımız mutlak arasındalık ölçülerini (N-1)(N2)/2= (5-1)(5-2)/2=6’ya bölerek göreli arasındalık ölçülerini hesaplarız.

Sayfa 101’deki Şekil 6.11’de, A ve E düğümleri hiçbir iki düğümün arasında olmadığı için bunların arasındalıkları 0’dır. B düğümü, A-C, A-D ve A-E düğümleri arasında yer aldığı için 3 değerini alır. C düğümü, A-D, A-E, B-D ve B-E düğümleri arasında yer aldığı için 4 değerine sahiptir. D ise, A-E, B-E ve C-E düğümleri arasında yer aldığı için 3 değerini alır.

Bu ağ yönlendirilmemiş bir ağ olduğu için göreli arasındalık hesabında, mutlak arasındalık değerleri (N1)(N-2)/2 = (5-1)(5-2)/2=6 değerine bölünerek göreli arasındalık değerleri bulunur.

Yakınlık Merkezîliği

Derece merkezîliği bir düğüme birinci dereceden komşu olan düğümlerle ilgilidir. Oysa bir düğümle dolaylı olarak bağlantılı olan düğümler de vardır. Yakınlık merkezîliği uzaklığa odaklanır ve dolaylı bağlantı içinde bulunan düğümleri de hesaba katar. Yakınlık, bir düğüm ile çizgedeki diğer bütün düğümler arasındaki en kısa patikaların ortalama uzunluğudur. Erişimin en kısa patikalardan sağlanması koşuluyla yakınlık, ortalama erişim süresi olarak yorumlanabilir. Mutlak yakınlık hesaplanırken, en kısa patikaların toplamının tersi alınır. Göreli yakınlık hesaplamasında ise mutlak yakınlık ölçüsü N-1’e bölünüp tersi alınır:

Sayfa 102’deki Şekil 6.12’de, yönsüz ağdaki düğümlerin (aktörlerin) yakınlık merkezîliklerini ve standardize edilmiş, göreli yakınlık merkezîliklerinin hesaplanması ile ilgili özet bilgi aşağıda verilmiştir.

Önce bir düğümden diğer düğüme en kısa yoldan, en kısa patikadan kaç adımda gidileceğini ve bu adımların toplamını hesaplanmalıdır.

  • 1. düğüm için toplam 16 adım,
  • 2. düğüm için toplam 16 adım,
  • 3. düğüm için toplam 11 adım,
  • 4. düğüm için toplam 10 adım,
  • 5. düğüm için toplam 11 adım,
  • 6. düğüm için toplam 15adım,
  • 7. düğüm için toplam 15 adım

olarak hesaplanır.

  • 1. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/16,
  • 2. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/16,
  • 3. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/11,
  • 4. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/10,
  • 5. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/11,
  • 6. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/15,
  • 7. düğüm için standardize edilmiş göreli yakınlık merkezlikleri 6/15,

olarak hesaplanır.

Konuyla ilgili daha iyi bilgi sahibi olabilmek için Sayfa 103’te verilen Örnek 6.6 incelenebilir.