Ünite 5: Matrisler ve Denklem Sistemlerinin Matrislerle Çözümü

Giriş

Birçok iktisadi modelde, birçok değişkenin eşanlı olarak etkileşimi söz konusudur. Aslında bu durum n değişkenin yer aldığı n tane doğrusal eşitlikten oluşan denklem sistemleri için de geçerlidir. Bu denklem sistemlerinin çözümü de bir şekilde matrislerin ve matrislerle ilgili belirli işlemlerin yapılmasını gerektirir. Aslında iktisadın çeşitli alanlarında matrisler yoğun bir biçimde kullanılmaktadır. Matris işlemleri sayesinde iktisadi modelleri analiz etmek hem daha basittir hem de bu modellerle ilgili daha ayrıntılı bilgi elde etme şansımız vardır. Matrisler özellikle doğrusal denklem sistemleri söz konusu olduğunda çok yararlı ve güçlü bir araçtır. İktisatta da birçok teorik model ya doğrusaldır ya da bazı basit işlemlerle, örneğin logaritmik dönüşüm uygulayarak, doğrusal hâle getirilebilir. Bu bağlamda matrislerle ilişkili determinantları kullanarak, sistemin tek bir çözümü olup olmadığını belirleyebiliriz. Ayrıca modern iktisadi analizlerde yoğun olarak kullanılan Cramer kuralı ile bir eşitlikte yer alan bilinmeyen bir katsayı için, eşitliklerde yer alan diğer katsayılar cinsinden çözüm bulabiliriz.

Matris: Bir köşeli büyük parantez içinde satır ve sütunlara yazılı sayı, değişken veya fonksiyonları temsil eden elemanlardan oluşan dikdörtgen biçiminde bir tablodur.

Matrislerle İlgili Tanımlar ve Terimler

m tane doğrusal eşitlik ve n tane bilinmeyen değişkenden (x’ler) oluşan denklem sistemi ise,

a11x1 + a12 x2 +a13x3 + ……………. +a1n xn = b1

a21x1 + a22 x2 +a23x3 + ……………. +a2n xn = b2

…………………………………………………………….

Am1x1 + am2 x2 +am3x3 + ……………. +amn xn = bm

biçiminde yazılır. Bu denklem sisteminde i ninci satır ve j ninci sütunda yer alan değişkenin katsayısı a ij dir

Matris, köşeli büyük bir parantez içinde satır ve sütunlara yazılı sayı, değişken veya fonksiyonları temsil eden elemanlardan oluşan dikdörtgen biçiminde bir tablodur. Matris, ya A = [a ij ] ya da [A] ij biçiminde gösterilir. a ij (i = 1, 2, … , m;j = 1, 2, … , n) sayıları, A matrisinin girdileridir. Satır ve sütun sayıları matrisin boyutudur. A matrisinin boyutu mxn’dir. 1 × 1 boyutundaki bir matris 5, 10 gibi bir sayı iken, m × 1 boyutundaki matris bir sütun vektörü; 1 × n boyutundaki matris ise bir satır vektörü olarak adlandırılır.

Satır ve sütun sayısı birbirine eşit olan matrise kare matris denir. Eğer bir matrisin tüm elemanları sıfırsa, o matrise sıfır matris denir. Üçgensel matris, köşegeninin alt veya üstündeki elemanları sıfırdan oluşan kare matristir.

Bir matriste tüm i ve j’ler için, a ij = a ji gerçekleşiyorsa, o matrise simetrik matris denir.

Bir kare matrisin sadece köşegen elemanları sıfırdan farklıysa o matrise köşegen matris denir.

Bir köşegen matrisin köşegen elemanları birbirine eşitse o matrise skaler matris denir. Köşegen elemanları bire eşit olan skaler matrise de birim matris denir.

Temel Matris İşlemleri

Matrislerin Eşitliği

İki matris veya vektörün eşit olabilmesi için, her ikisinin hem aynı boyutta yani aynı satır ve sütun sayısına sahip olması ve her iki matrisin karşılık gelen satır ve sütun elemanlarının birbirine eşit olması gerekir.

Matrislerde Toplama ve Çıkarma

İki matrisin toplanıp çıkarılabilmesi için iki matrisin satır ve sütun sayılarının birbirine eşit olması gerekir. Toplama ve çıkarma işlemleri sonucu elde edilen yeni matrisin boyutu da toplanan ve çıkarılan matrisle aynı olur.

Matrisin İz Değeri

Bir kare matrisin iz değeri (trace), matrisin köşegen elemanlarının toplanmasıyla bulunur ve Tr(A) veya trace(A) biçiminde gösterilir.

Matrislerde Çarpma

Matrislerde çarpma işlemi iki şekilde gerçekleştirilir.

  • skalerle çarpım
  • matrisle çarpım

Matrisin Bir Sayı ile Çarpımı

Matrisler skaler adı da verilen reel sayılarla çarpılır. Herhangi bir sayının matris ile çarpımına skaler çarpan denir. Matrisin skalerle çarpımı, matrisin her elemanının belli bir sayıyla tek tek çarpılmasıyla gerçekleşir.

Matrislerin Çarpımı

A ve B gibi iki matrisin çarpılabilmesi için, yani AB’nin elde edilebilmesi için ilk matrisin yani A matrisinin sütun sayısının, ikinci matrisin, yani B matrisinin, satır sayısına eşit olması gerekir. AB çarpım matrisinin, birinci matrisin satır sayısıyla ikinci matrisin sütun sayısı çarpım matrisinin boyutunu oluşturur.

Matris İşlemlerinin Yasaları

  • (A+B)+C = A+(B+C) (Matris toplamının birleşme özelliği)
  • (AB)C = A(BC) (Matris çarpımın birleşme özelliği)
  • A+B = B+A (Matris toplamının değişme özelliği)
  • A(B+C) = AB+AC (Matris çarpımın, toplama üzerine soldan dağılma özelliği)
  • (A+B)C = AC+BC (Matris çarpımın, toplama üzerine sağdan dağılma özelliği) Aritmetikte geçerli ancak matrislerde geçerli olmayan kural ise matris çarpımının değişme özelliğidir. Her ne kadar aritmetikte ab = ba olsa da matrislerde her iki çarpım matrisi var olsa bile AB = BA olmayabilir.

Matrisin Evriği

Bir matrisin evriği, matrisin satırları sütunları ile değiştirilerek elde edilir. evriği alınan A matrisinin boyutu mxn ise evriği olan matris nxm boyutunda olur.

Ters Matrisin Bulunması

AB = BA = I olacak şekilde B matrisi varsa B’ye A’nın tersi denir.Bir matrisin tersinin alınabilmesi için gerek koşul o matrisin kare matris olmasıdır. Ancak bu yeterli değildir, çünkü A gibi bir kare matrisin tersinin alınabilmesi için A ’nın determinantının sıfırdan farklı olması gerekir. Eğer bir matrisin determinant değeri sıfırdan farklıysa o matrise tekil olmayan matris denir ve tekil olmayan matrisin tersi alınabilir. Determinantı sıfır olan matrise ise tekil matris denir. Bir matrisin tersi alınırken iki yöntem uygulanır.

  • Ek matris yöntemi
  • Gauss Eleme yöntemi ya da Pivot yöntemi

Bir matrisin determinantı o matrisin, herhangi bir satır veya sütunundaki elemanlarının kendi kofaktör değerleriyle çarpımları toplamıdır.

Bir matrisin determinantı o matrisin, herhangi bir satır veya sütunundaki elemanlarının kendi kofaktör değerleriyle çarpımları toplamıdır.

Bir matrisin kofaktör matrisinin evriğine ek matris denir.

Denklem Sistemlerinin Çözümü

İktisadi modellerde eşitlik sisteminde yer alan eşitlik sayısıyla bilinmeyen sayısı genellikle eşit olduğu için kullandığımız birçok matris kare ve tersi alınabilen matristir. 3 yolla çözülebilir.

  • ters matris yöntemi,
  • Gauss yöntemi
  • Cramer kuralı

Ters Matris Yöntemi

Ax = b

Burada A katsayılar matrisini x çözüm vektörünü ve b de sabitler vektörünü verir. Eğer A matrisin tersi alınabilirse x in çözümü,

x = A -1 b

şeklinde bulunabilir.

Gauss Eleme Yöntemi

Bu yöntemle denklem sistemleri çözülürken A matrisi ile b vektörü üzerine basit satır işlemleri uygulanarak A matrisinin birim matrise dönüşümü sağlanır. Bu süreç sonucunda elde edilen b vektörü de çözüm vektörü olur.

Cramer Kuralı

Cramer Kuralı’na göre denklem sisteminde yer alan ve değeri bilinmeyen değişkenlerden herhangi birinin örneğin xi nin değeri, A matrisinde i ninci sütununa denk gelen elemanların (değerlerin), b vektöründeki sabitlerle değiştirilmesiyle elde edilen yeni matrisin determinantını, A matrisinin determinantına oranlanmasıyla bulunur.

Cramer kuralının 4 aşamalı yolu:

  1. Sistemi matris formunda ifade et yani Ax = b biçiminde yeniden yaz.
  2. A matrisinin determinatını bul. Yani |A| ’yı bul.
  3. Hangi x değişkeninin değerini bulacaksınız A matrisinde o değişken katsayılarının yerine b vektöründeki sabit değerleri koyarak Ai matrisini oluştur ve Ai matrisinin determinantını bul, yani |Ai| ’yı bul.
  4. formülünü kullanarak xi değerini bul.